Tha an co-aontar an itealain: mar a dhèanamh? Seòrsachan plèana co-aontaran

Tha am plèana rùm a dh'fhaodar a mhìneachadh ann an diofar dhòighean (aon spot agus Vector, an Vector agus an dà puingean, trì puingean, msaa). Tha seo ann an inntinn, an itealan co-aontar dh'fhaodas a bhith aig diofar sheòrsaichean. Cuideachd cumhachan sònraichte plèana a dh'fhaodadh a bhith co-shìnte, ceart-cheàrnach, trasnaidh, etc. Air a seo agus a 'bruidhinn anns an aiste seo. Bidh sinn ag ionnsachadh a dhèanamh coitcheann co-aontar an itealain agus nach eil a-mhàin.

Tha àbhaisteach riochd an co-aontar

Creidsinn R tha an rùm _3, air a bheil ceithir-cheàrnach co-òrdanachadh an t-siostam XYZ. Tha sinn a 'mìneachadh a Vector α, a thèid a-mach às an àite-tòiseachaidh O. Tro deireadh an Vector α tarraing plèana D a tha ceart-cheàrnach ris.

Denote P aig puing neo-Q = (x, y, z). Tha radius Vector na puing Q soidhne litir p. Tha fad an Vector co-ionann ri α D = IαI agus Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Vector an aonad seo, a tha air an stiùireadh ann an stiùireadh mar Vector α. α, β agus γ - tha ceàrnan a tha air a chruthachadh eadar na Vector agus an deagh stiùireadh Ʋ rùm tuaghan x, y, z fa leth. Tha projection puing air Vector QεP Ʋ 'S e daonnan a tha co-ionnan ri p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Tha an co-aontar os cionn nuair a tha brìoghmhor p = 0. Tha a-mhàin n itealan sa chùis seo, a bhiodh a 'dol tarsainn a' phuing O (α = 0), a tha an tùs, agus aonad Vector Ʋ,-mach às a 'phuing O bhios ceart-cheàrnach ri P, ged a tha an stiùireadh, a tha a' ciallachadh gu bheil an Vector Ʋ a dhearbhadh suas ri na soidhne. Previous co-aontar a th 'againn plèana P, a chur an cèill ann an Vector fhoirm. Ach ann an sealladh a tha co-chomharran:

P nas mò na, no co-ionnan ri 0. sinn air lorg fhaighinn air an itealan ann an co-aontar àbhaisteach fhoirm.

Anns an fharsaingeachd, cho-aontar

Ma tha co-aontar anns na co-chomharran iomadachadh le àireamh sam bith nach eil co-ionnan ri neoni, faigh sinn an co-aontar seo co-ionann ris a 'mìneachadh fìor plèana. Bidh an riochd a leanas:

An seo, tha A, B, C - tha an àireamh aig an aon àm eadar-dhealaichte bho neoni. Tha seo an co-aontar a ghairm co-aontar an fharsaingeachd cruth an plèana.

Tha a 'cho-aontaran air na plèanaichean. Special cùisean

Tha an co-aontar urrainn a bhith air a mhùthadh a bharrachd h. Beachdaich air cuid dhiubh.

Smaoineachadh gu bheil an coefficient A 0. 'S e seo a' sealltainn gu bheil a 'plèana co-shìnte ris an axis damh ro-shuidhichte. Anns a 'chùis seo, ann an riochd an co-aontar atharrachadh: Wu + Cz + D = 0.

An ceudna, ann an cruth co-aontar agus bidh eadar-dhealaichte ri na cumhaichean a leanas:

• Sa chiad àite, ma tha B = 0, an co-aontar atharrachaidhean do Tuagh + Cz + D = 0, tha a 'sealltainn an parallelism ris an axis Oy.
• San dara àite, ma C = 0, an co-aontar a cruth-atharrachadh a-steach Tuagh + Le + D = 0, tha sin ri ràdh mu dheidhinn co-shìnte ris an axis Oz ro-shuidhichte.
• Treas, ma D = 0, an co-aontar a 'nochdadh mar Tuagh + Le Cz = + 0, a bhiodh a' ciallachadh gu bheil am plèana a 'trasnadh O (tùs).
• An ceathramh, ma tha A = B = 0, an co-aontar atharrachaidhean do Cz + D = 0, a bhios a 'dearbhadh gu parallelism Oxy.
• Còigeamh, ma tha B = C = 0, an co-aontar a 'fàs Tuagh + D = 0, a tha a' ciallachadh gu bheil am plèana a tha co-shìnte ri Oyz.
• Sixthly, Ma = C = 0, an co-aontar a 'gabhail an riochd Wu + D = 0, i.e., aithris don parallelism Oxz.

Foirm an co-aontar ann an earrannan

Ann an suidheachadh far a bheil àireamhan a tha A, B, C, D eadar-dhealaichte bho neoni, an riochd co-aontar (0) a dh'fhaodadh a bhith mar a leanas:

x / a + y / b + z / c = 1,

anns am bheil a = see / A, b = see / B, C = see / C.

Sinn a 'faighinn mar thoradh air co-aontar an itealan ann an pìosan. Bu chòir a thoirt fa-near gu bheil seo air plèana a bhios a 'coinneachadh an x-axis aig a' phuing le co-chomharran (a, 0.0), Oy - (0, b, 0), agus Oz - (0.0, s).

Leis an co-aontar x / a + y / b + z / c = 1, chan eil e doirbh a seallaidh greis gnìomhachais plèana an coimeas ri ro-shuidhichte 'co-òrdanachadh an t-siostam.

Tha na co-chomharran àbhaisteach Vector

Tha àbhaisteach Vector n don itealan D Tha co-chomharran a tha a 'èifeachdan an fharsaingeachd co-aontar an itealain, i.e. n (A, B, C).

Gus co-dhùnadh co-chomharran na 'n àbhaisteach, tha e ceart gu leòr gus fios coitcheann co-aontar a thoirt plèana.

Nuair a chleachdas an co-aontar anns an earrann air a bheil an riochd x / a + y / b + z / c = 1, mar le coitcheann a 'cho-aontar, faodaidh sinn a' sgrìobhadh na co-chomharran sam bith de na àbhaisteach Vector a thoirt plèana: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Bu chòir a thoirt fa-near gun àbhaisteach Vector bhith a 'cuideachadh gus fuasgladh fhaighinn air diofar dhuilgheadasan. As cumanta duilgheadasan a tha air a dhèanamh suas ann an dearbhadh ceart-cheàrnach co-shìnte no plèanaichean, tha an obair a 'lorg an ceàrnan eadar na plèanaichean no an ceàrnan eadar na plèanaichean agus loidhnichean dìreach.

Taidhp a rèir an itealan an co-aontar agus co-chomharran na puing àbhaisteach Vector

A nonzero Vector n, ceart-cheàrnach ri a thoirt air plèana, an t-ainm àbhaisteach (àbhaisteach) gu ro-shuidhichte plèana.

Creidsinn gu bheil a cho-òrdanachadh ann an rùm (a ceithir-cheàrnach co-òrdanachadh an t-siostam) Oxyz a stèidheachadh:

• Mₒ phuing le co-chomharran (hₒ, uₒ, zₒ);
• neoni Vector n = A * i + B * j + C * k.

Feumaidh tu a 'dèanamh co-aontar an itealan a' dol tron phuing Mₒ ceart-cheàrnach ri àbhaisteach n.

Anns an rùm sinn air a thaghadh sam bith neo-phuing agus denote M (x, y, z). Leig radius Vector de gach puing M (x, y, z) bi r = x * i + y * j + z * k, agus radius Vector puing Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Tha a 'phuing M bidh a bhuineas do thoirt plèana, ma tha an Vector MₒM a bhith ceart-cheàrnach ri na Vector n. Tha sinn a 'sgrìobhadh an staid orthogonality' cleachdadh a 'bhathar scalar:

[MₒM, n] = 0.

Bho MₒM = r-rₒ, Vector an co-aontar an itealain a 'coimhead mar seo:

[R - rₒ, n] = 0.

Co-aontar seo cuideachd a 'cumadh eile. Airson an adhbhair seo, feartan an scalar bathar, agus air a thionndadh an taobh clì an co-aontar. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ma tha [rₒ, n] sgrìobhadh mar s, faigh sinn na leanas co-aontar: [r, n] - a = 0 no [r, n] = s, a tha a 'cur an cèill an constancy na ro-mheasaidhean air àbhaisteach Vector an radius-bheactaran de thoirt seachad puingean a bhuineas plèana.

A-nis gheibh thu a 'co-òrdanachadh seòrsa clàradh plèana ar Vector co-aontar [r - rₒ, n] = 0. Bho r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, agus n = A * i + B * j + C * k, a tha againn:

Tha e a 'tionndadh a-mach gu bheil sinn an co-aontar a chruthachadh plèana a' dol tron phuing ceart-cheàrnach ri àbhaisteach n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Taidhp a rèir an itealan an co-aontar agus co-chomharran dà phuingean na h-Vector plèana shreathach

Tha sinn a 'mìneachadh dà tràighte puingean M' (x, y, z ') agus M "(x", y ", z"), a thuilleadh air an Vector (a', a ", a ‴).

A-nis faodaidh sinn a sgrìobh co-aontar ro-shuidhichte itealain a 'dol tron phuing a th' ann M 'agus M ", agus gach puing le M na co-chomharran (x, y, z) co-shìnte ris a thoirt Vector.

Mar so M'M bheactaran x = {x ', y-y'; zz '} agus M "Me = {x" -x', y 'y'; z "-z '} bu chòir a bhith coplanar leis an Vector a = (a ', a ", a ‴), a' ciallachadh gu bheil (M'M M" M, a) = 0.

So ar co-aontar de itealan ann an àite a 'coimhead mar seo:

Seòrsa plèana co-aontar, a 'dol thairis air trì puingean

Nach can sinn trì puingean: (x, y, z '), (x, y, z'), (x ‴ bheil ‴, z ‴), nach eil a bhuineas ris an aon loidhne. Tha e riatanach a 'sgrìobhadh co-aontar an itealan a' dol tro na trì puingean a shònrachadh. geoimeatraidh teòiridh seo ag argamaid gu bheil an seòrsa plèana Chan ann, tha e dìreach aon agus a-mhàin. Bhon seo plèana a 'trasnadh a' phuing (x, y, z '), a' cho-aontar foirm bhiodh:

An seo, tha A, B, C agus tha eadar-dhealaichte bho neoni aig an aon àm. Cuideachd thoirt plèana a 'trasnadh dà barrachd phuingean (x ", y", z ") agus (x ‴, ‴ y, z ‴). Ann an ceangal seo a dhèanamh a-seòrsa seo de na h-:

A-nis faodaidh sinn a chruthachadh èideadh siostam de cho-aontaran (sreathach) le cinnt u, v, w:

Ann cùise againn x, y no z sheasamh neo puing a tha a 'riarachadh co-aontar (1). A 'beachdachadh air co-aontar (1) agus siostam de cho-aontaran (2) agus (3) an t-siostam cho-aontaran a chomharrachadh ann an àireamh gu h-àrd, a' Vector tharruing N (A, B, C) a tha nontrivial. Tha e a chionn 'dèanamh an t-siostam a tha neoni.

Co-aontar (1) a fhuair sinn, tha seo an co-aontar na plèana. 3 phuing i dha-rìribh a 'dol, agus tha e furasta a sùil. Gus seo a dhèanamh, tha sinn a 'leudachadh le bhith a' dèanamh na h-eileamaidean anns a 'chiad sreath. De na feartan a th 'ann dhùnadh a leanas gu bheil ar plèana aig an aon àm a' trasnadh an trì toiseach ro-shuidhichte phuing (x, y, z '), (x ", y", z "), (x ‴, ‴ y, z ‴). Mar sin cho-dhùin sinn gu ghnìomh ann an ar beulaibh.

Dihedral cheàrn eadar na plèanaichean

Dihedral ceàrn tha spàsail geoimeatrach cumadh a chruthachadh le dà leth-plèanaichean a bhios fàs a-mach às an loidhne dhìreach. Ann am briathran eile, pàirt den rùm a tha cuingealaichte ris an leth-plèanaichean.

Creids 'againn dà itealan le na leanas co-aontaran:

Tha fios againn gu bheil an Vector N = (A, B, C) agus N¹ = (A¹, H¹, S¹) a-rèir ro-shuidhichte plèanaichean a tha ceart-cheàrnach. A thaobh seo, a 'cheàrn eadar φ bheactaran N N¹ agus co-ionnan ceàrn (dihedral), a tha na laighe eadar na plèanaichean. Tha scalar bathar air a thoirt seachad le bhith:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

dìreach a chionn '

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Tha e gu leòr gus beachdachadh air a 0≤φ≤π.

Dearbh dà plèanaichean a bhios a 'coinneachadh, cruth dà ceàrn (dihedral): φ ₁ agus _{2 φ.} An t-suim aca a tha co-ionann ri π (φ ₁ + ₂ = φ π). Mar a tha airson an cuid cosines, an làn luachan a tha co-ionann, ach tha iad eadar-dhealaichte soidhnichean, 'se sin, cos φ ₁ = ₂ -cos _φ. Ma tha ann an co-aontar (0) air a chur na àite le A, B agus C a '-a, -B agus -C fa leth, air an co-aontar, tha sinn a' faighinn, a 'dearbhadh an aon plèana, an aon ceàrn φ ann an co-aontar cos φ = NN ¹ / | N N || ¹ | Tha e a thèid a chur an àite π-φ.

Tha an co-aontar na ceart-cheàrnach plèana

Ceart-cheàrnach ris an canar plèana, eadar a 'cheàrn a tha 90 ceuman. A 'cleachdadh an stuth a thoirt gu h-àrd, gheibh sinn an co-aontar de ceart-cheàrnach ri plèana eile. Ma tha sinn a 'plèanaichean: Tuagh + Le + Cz + D = 0, agus + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Faodaidh sinn a ràdh gu bheil iad orthogonal ma cos = 0. Tha seo a 'ciallachadh gu bheil NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Tha an co-aontar de co-shìnte plèana

Tha e air ainmeachadh dà co-shìnte plèanaichean anns a bheil robh puingean sam bith ann cumanta.

Tha staid na co-shìnte plèanaichean (aca air co-aontaran mar a tha an aon sa pharagraf roimhe) gu bheil na bheactaran N agus N¹, a tha ceart-cheàrnach ri orra, shreathach. Tha seo a 'ciallachadh gu bheil na cumhaichean a leanas a tha a' coinneachadh co-ionnanachd:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ma tha an co-roinneil a thaobh leudachadh - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

seo a 'sealltainn gu bheil an dàta plèana an aon. Tha seo a 'ciallachadh gu bheil co-aontar Tuagh + Le + Cz + D = 0 agus + A¹h V¹u S¹z + + 0 = D¹ innse aon phlèan.

Tha astar bho puing air plèana

Creidsinn againn plèana D, a tha air a thoirt seachad le (0). Tha e riatanach a lorg air astar bho 'phuing le co-chomharran (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Feumaidh sibh a thoirt an co-aontar anns an itealan àbhaisteach II coltas gus a dhèanamh:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Anns a 'chùis seo, ρ (x, y, z)' S e radius Vector ar puing Q, suidhichte air 'n p - n e fad na ceart-cheàrnach, a chaidh a sgaoileadh bho na neoni puing, v -' S e an t-aonad Vector, a tha air a chur air dòigh ann an stiùireadh a.

Tha an diofar ρ-ρº radius Vector puing Q = (x, y, z), a bhuineas do 'n agus radius Vector a thoirt puing Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) tha leithid' a Vector, an t-iomlan luach na projection a air v co-ionann air an astar d, a tha riatanach gus lorg bho Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) gus D:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ach

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Mar sin tha e a 'tionndadh a-mach,

D = | (ρ ^0, v) p |.

A-nis, tha e soilleir gu obrachadh a-mach an t-astar d bho ₀ gu Q plèana D, tha e riatanach a bhith a 'cleachdadh àbhaisteach sealladh plèana co-aontar, a' gluasad gu taobh clì an p, agus an àite mu dheireadh de x, y, z-ionaid (hₒ, uₒ, zₒ).

Mar sin, tha sinn a 'lorg an luach iomlan na thoradh air a chur an cèill a tha a dhìth d.

A 'cleachdadh na crìochan cànain, gheibh sinn follaiseach:

D = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ma tha a 'phuing a shònrachadh Q ₀ tha air an taobh eile de na plèana D mar an tùs, agus an uair sin eadar an Vector ρ-ρ ⁰ agus v tha an ceàrn farsaing, mar so:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) P> 0.

Anns a 'chùis nuair a' phuing Q ₀ còmhla ris an tùs suidhichte air an aon taobh den U, an acute angle a chruthachadh, a tha:

D = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Mar thoradh air gu bheil ann an seann ceangailte (ρ ^0, v)> p, anns an dara (ρ ^0, v)

Agus a 'bheantan plèana co-aontar

A thaobh a 'phlèana gus an uachdar aig a' phuing tangency Mº - itealan anns a bheil a h-uile ghabhas bheantan ris an lùib a tharraing tro bhith a 'phuing air an uachdar.

Le seo uachdar riochd F co-aontar (x, y, z) = 0 ann an co-aontar am beantan plèana beantan puing Mº (hº, uº, zº) Bhiodh:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Ma bhios an uachdar air a chur gu follaiseach z = f (x, y), an uair sin am beantan plèana air a mhìneachadh leis a 'cho-aontar:

-z zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Tha an eadar-ghearradh de dhà plèanaichean

Ann an trì-thaobhach rùm S e siostam co-chomharran (ceithir-cheàrnach) Oxyz, a thoirt dà plèanaichean P 'agus P' a chèile agus chan eil an aon àm. Bho plèana sam bith, a tha ann an ceithir-cheàrnach co-òrdanachadh an t-siostam a mhìneachadh le coitcheann a 'cho-aontar, tha sinn a' gabhail ris gum n 'agus' n "a tha air a mhìneachadh leis a 'cho-aontaran A'x + V'u S'z + + D' = 0 agus A" x + B '+ y le "z + D" = 0. Anns a 'chùis seo a tha againn àbhaisteach n' (A ', B, C') an itealain P 'agus an àbhaisteach n "(A", B ", C") an itealain D'. Mar ar plèana nach 'eil co-shìnte agus chan eil an aon àm, an sin bheactaran nach' eil shreathach. Cleachdadh a 'chànain matamataig, tha againn an staid seo Faodar a sgrìobhadh: n' ≠ n "↔ (A ', B, C') ≠ (λ * Agus", λ * Ann an ", λ * C"), λεR. Leig an loidhne dhìreach a tha a 'laighe aig a' ghearradh P 'agus P ", a thèid a sgrìobhadh le litir a, sa chùis seo a = D' ∩ P".

agus - loidhne anns a bheil ioma-ghnèitheachd de puingean (cumanta) plèanaichean P 'agus P ". Tha seo a 'ciallachadh gu bheil na co-chomharran puing sam bith a bhuineas ris an loidhne a, feumaidh an aon àm a' sàsachadh an co-aontar A'x + V'u S'z + + D '= 0 agus A "x + B' C y +" z + D "= 0. Tha seo a 'ciallachadh gu bheil na co-chomharran puing a bhios sònraichte fuasgladh cho-aontaran de na leanas:

Tha seo gu bheil a 'fuasgladh (iomlan) den t-siostam seo de cho-aontaran a-mach dè na co-chomharran air gach aon de na puingean air an loidhne a tha mar a' phuing far a P 'agus P ", agus co-dhùnadh loidhne ann a' co-òrdanachadh an t-siostam Oxyz (ceithir-cheàrnach) rùm.