Tionndadh Fourier. Transform Fast Fourier. Sgaoileadh

Is e cruth-atharrachadh Fourier cruth-atharrachadh a tha ag obair còmhla ri caochlaideach fìor shònraichte. Thèid an obair seo a dhèanamh a h-uile turas a chluinneas sinn fuaimean eadar-dhealaichte. Bidh an cluas a 'dèanamh "àireamation" fèin-ghluasadach, a tha ar mothachadh comasach air cluich a-mhàin a-mhàin às dèidh a bhith a' sgrùdadh an earrainn fhreagarrach de matamataig nas àirde. Tha an t-organan èisteachd èisdeachd a 'togail cruth-atharrachaidh, mar thoradh air an fhuaim (tha gluasad gluasadach nam mìrean co-cheangailte ann am meadhan elastaigeach a tha a' gluasad ann an cruth tonn ann am meadhanach làidir, lobhach no gaseous) air a thoirt seachad mar speactram de ìrean leantainneach de ghlùinean toinnte de dhiofar ìrean. Às dèidh sin, bidh an eanchainn a 'tionndadh am fiosrachadh seo gu fuaim aithnichte.

Eadar-theangachadh Fourier Matamataigeach

Faodar cruth-atharrachadh nan tonnan no pròiseasan cnàimh eile (bho radaig aotrom agus làn a 'chuain agus a bhith a' cuairteachadh gnìomhachd neo-sheasmhach no grèine) cuideachd a 'cleachdadh mhodhan matamataigeach. Mar sin, le bhith a 'cleachdadh nan dòighean sin, faodaidh tu na gnìomhan a leudachadh le bhith a' riochdachadh na pròiseasan ath-rèiteachaidh le seata de cho-phàirtean sinusoidal, is e sin, cromagan coltach ri tonn, a ghluaiseas bho ìre as ìsle gu uiread, agus a-rithist gu ìre as lugha, mar tonn mara. Is e cruth-atharrachadh a th 'ann an cruth Fourier a tha a' toirt iomradh air ìre no farsaingeachd gach sinusoid a tha a 'freagairt air tricead sònraichte. Is e an ìre toiseach tòiseachaidh an lùb, agus tha an leudachd àrd.

Tha an cruth Fourier (eisimpleirean air an sealltainn anns an dealbh) na inneal cumhachdach a tha air a chleachdadh ann an diofar raointean saidheans. Ann an cuid de chùisean, tha e air a chleachdadh mar dhòigh air co-aontaran rudeigin iom-fhillte a rèiteach a tha a 'toirt cunntas air na modhan fiùghantach a thig fo bhuaidh solas, teas no lùth dealain. Ann an suidheachaidhean eile, tha e a 'toirt cothrom dhuinn na co-phàirtean cunbhalach a chomharrachadh ann an comharran iom-fhillte iom-fhillte, le seo, tha e comasach diofar bheachdan dearbhaidh a mhìneachadh gu ceart ann an ceimigeachd, leigheas agus saidheans.

Cùl-eachdraidh eachdraidheil

B 'e an neach-matamataig Frangach Jean Baptiste Fourier a' chiad neach a chuir an cèill an dòigh seo. Chaidh an cruth-atharrachadh, a chaidh ainmeachadh an dèidh sin, a chleachdadh bho thùs gus tuairisgeul a thoirt air an dòigh anns an robh giùlan teirmeach. Chuir Fourier seachad a bheatha inbheach gu lèir a 'sgrùdadh feartan teas. Rinn e cuideachadh mòr don teòiridh matamataigeach a thaobh a bhith a 'co-dhùnadh freumhan co-aontaran ailseabra. Bha Fourier na àrd-ollamh air mion-sgrùdadh aig Sgoil Polytechnic, rùnaire Institiud na h-Èipheitigeach, air an t-seirbheis ìmpireil, a dh 'aithnich e fhèin nuair a chaidh an rathad gu Turin (fon cheannas aige, a ghlanadh còrr is 80 mìle cilemeatair ceàrnagach de bhoglaichean malaria). Ach, cha do chuir a h-uile gnìomhachd gnìomhach seo bacadh air an neach-saidheans bho bhith a 'dèanamh mion-sgrùdadh matamataig. Ann an 1802 choisinn e co-aontar a tha a 'toirt iomradh air sgaoileadh teas ann an sreathan. Ann an 1807, lorg an neach-saidheans dòigh airson fuasgladh a dhèanamh air an co-aontar seo, ris an canar "transformation Fourier".

Anailis anailchdachd teas

Chleachd an neach-saidheans dòigh matamataigeach gus cunntas a thoirt air an dòigh anns an robh giùlan teirmeach. Is e eisimpleir adhartach, anns nach eil duilgheadasan ann a bhith a 'cunntadh, a' sgaoileadh lùth teirmeach air cearcall iarainn a tha air aon bhogadh ann an teine. Gus na deuchainnean a dhèanamh, theich Fourier pàirt dearg an fhàinne seo agus thiodhlaic e e ann an gainmheach mhìn. An dèidh sin thomhais e an teòthachd air an taobh thall dheth. An toiseach, tha an sgaoileadh teas neo-riaghailteach: tha pàirt den fhàinne fuar agus tha an tè eile teth, faodar tomhas teann geur a dhèanamh eadar na sònaichean sin. Ach, anns a 'phròiseas gluasad teas thairis air uachdar iomlan a' mheatailt, bidh e nas èiginn. Mar sin, bidh am pròiseas seo a 'gabhail a-steach sinusoid. An toiseach, bidh an graf a 'meudachadh mean air mhean agus cuideachd a' lùghdachadh gu rèidh, dìreach a rèir laghan an atharrachaidh anns a 'ghnìomh cosine no sine. Bidh an tonn air a chòmhdach mean air mhean agus mar thoradh air an sin, bidh an teòthachd a 'fàs mar an ceudna air uachdar iomlan an fhàinne.

Mhol ùghdar an dòigh seo gum faod an t-sgaoilidh neo-riaghailteach tùsail a bhith air a dhubhadh gu tur gu sreath de sinusoids tùsail. Bidh a h-ìre aca fhèin (an toiseach) agus an teòthachd as motha aig gach fear dhiubh. Anns a 'chùis seo, bidh gach pàirt den t-seòrsa seo ag atharrachadh bhon ìre as lugha gu ruige agus air ais air làn-chuairt timcheall a' chearcaill grunn shamhan. B 'e co-chòrdadh bunaiteach a bh' ann an aon phàirt aig an robh aon àm, agus is e luach le dà ùine no barrachd an dàrna fear agus mar sin air adhart. Mar sin, is e an obair matamataigeach a tha a 'toirt iomradh air an teòthachd as àirde, an ìre no an t-suidheachadh air a bheilear a' cleachdadh cruth-atharrachadh Fourier air an obair sgaoileadh. Leudaich an neach-saidheans an aon phàirt, a tha doirbh a bhith air a mhìneachadh gu matamataigeach, gu inneal a tha furasta a chleachdadh-còine agus sreathan sinus, a tha a 'toirt seachad an ciad sgaoileadh.

An rud a th 'aig an anailis

A 'cur a-steach na h-anailis seo gu cruth-atharrachadh teas tro rud cruaidh le cumadh cuairte, bheachdaich am matamataig gum faodadh meudachadh na h-ùine sin a bhith a' lùghdachadh gu luath. Tha seo air a dheagh lorg air na h-adhbharan bunaiteach agus an dàrna cuid. Anns a 'cheann thall, bidh an teòthachd a' ruighinn na luachan as àirde agus as ìsle air dà uair ann an aon pas, agus sa chiad fhear a-mhàin aon uair. A rèir coltais, bidh an t-astar a thèid a shàbhaladh le teas san dàrna co-sheirm mar leth dhen phrìomh rud. A thuilleadh air an sin, bidh an caisead san dàrna dà uair nas casta na an toiseach. Mar thoradh air an sin, seach gu bheil sruth teas nas dian a 'dol seachad air an astar as fharsainge, bidh an harmonic air a thoirt sìos ceithir tursan nas luaithe na am bunaiteach, mar obair ùine. Anns na leanas, bidh am pròiseas seo a 'tachairt eadhon nas luaithe. Bha am matamataigeach den bheachd gu bheil an dòigh seo a 'leigeil leinn obrachadh a-mach pròiseas a' chiad riarachaidh teòthachd thar ùine.

Dùbhlan gu co-aoisean

Thàinig an algorithm cruth Fourier gu bhith na dhùbhlan do na bunaitean teòiridheach aig matamataig san àm sin. Aig toiseach an naoidheamh linn deug, cha do ghabh luchd-saidheans as àirde, a 'gabhail a-steach Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre agus Bio, a bheachd gu bheil a' chiad sgaoileadh teòthachd air a chòmhdach ann an co-phàirtean ann an cruth cumanta bunasach agus tricead nas àirde. Ach, cha b 'urrainn do Acadamaidh nan Saidheans na toraidhean a fhuair an matamataigeach a leigeil seachad agus thug e duais dha airson teòiridh laghan cuimseachadh teas, cho math ri bhith ga choimeas le deuchainnean corporra. Ann an dòigh Fourier, chaidh a 'phrìomh ghearan a dhèanamh leis an fhìrinn gu bheil an obair neo-chrìochnach air a riochdachadh leis an àireamh de dhleastanasan neo-chinnteach a tha leantainneach. Às deidh na h-uile, tha iad a 'toirt cunntas air na loidhnichean dìreach a tha briste. Cha do choinnich luchd-co-aimsireil an neach-saidheans ri suidheachadh coltach ris an seo, nuair a chaidh measgachadh de cheistean leantainneach a mhìneachadh, mar ceàrnagach, lineach, sinusoid no neo-eisimeileach. Ma tha an neach-matamataig ceart anns na h-aithrisean aige, bu chòir suim sreathan neo-chrìochnach de dhreuchd trigonometric a bhith air a lughdachadh gu ìre cheart. Aig an àm sin, bha coltas ann gun robh aithris leithid sin annasach. Ach, a dh'aindeoin nan teagamhan, leudaich cuid de luchd-rannsachaidh (mar eisimpleir Claude Navier, Sophie Germain) farsaingeachd rannsachaidh agus gam gluasad thairis air an anailis air sgaoileadh cumhachd teirmeach. Agus bha matamataichean aig an aon àm a 'leantainn air a' fulang a 'cheist an gabhadh an àireamh de dhreuchdan neo-chinnteach a lùghdachadh gu riochdachadh mionaideach den fheadhainn nach robh fada.

Eachdraidh 200 bliadhna

Tha an teòiridh seo air a bhith air a leasachadh thairis air dà linn, an-diugh chaidh a stèidheachadh mu dheireadh. Le a chuideachadh, tha gnìomhan spàsail no ùineil air an roinn ann an co-phàirtean sinusoidal, aig a bheil am tricead, ìre agus farsaingeachd fhèin. Gheibhear an cruth-atharrachadh seo le dà dhòigh matamataig eadar-dhealaichte. Tha a 'chiad fhear air a chleachdadh anns a' chùis nuair a tha a 'chiad obair leantainneach, agus an dàrna fear - sa chùis nuair a tha e air a riochdachadh le seata de dh'atharrachaidhean fa leth. Ma gheibhear am facal-luirg bho luachan a tha air a dhearbhadh le eadar-dhealachaidhean fa leth, faodaidh e a bhith air a roinn ann an grunnan briathran sinusoidal le triceadan sònraichte - bhon tricead as ìsle agus an uair sin, trì tursan, agus mar sin air adhart, nas àirde na an aon rud bunaiteach. Tha seo ris an canar an Fourier sreath. Ma tha an abairt tòiseachaidh air a thoirt seachad le luach airson gach àireamh fìor, faodaidh e bhith air a thionndadh gu iomadh tric neo-chomasach. Mar as trice is e 'Fourier' an t-ainm a th 'air, agus tha am fuasgladh a' ciallachadh atharrachadh cruaidh na dreuchd. A dh 'aindeoin an dòigh air an cruth-atharrachadh fhaighinn, bu chòir dà àireamh a bhith air a shònrachadh airson gach tricead: meudachd agus tricead. Tha na luachan sin an cèill mar a tha aon -fhillte àireamh. Bha teòiridh eadar-mhìneachaidhean eadar-dhealachaidhean iom-fhillte ann an co-cheangal ri atharrachadh Fourier a 'toirt cothrom dhuinn àireamhachadh a dhèanamh airson diofar chuairtean dealain a thogail, anailis air oscillations meicnigeach, sgrùdadh air an dòigh anns am biodh tonnan a' sgaoileadh, agus mar sin air adhart.

Transformation Fourier an-diugh

An-diugh, bidh sgrùdadh air a 'phròiseas seo a' lùghdachadh gu h-àbhaisteach gus dòighean èifeachdach eadar-ghluasad a lorg bho dhreuchd ris an cruth agus an cruth a th 'air atharrachadh. Is e am fuasgladh seo a chanas sinn ri cruth-atharrachadh dìreach Fourver. Dè tha seo a 'ciallachadh? Gus co-dhùnadh an riatanach agus a 'dèanamh dìreach Fourier cruth-atharrachadh, faodaidh sibh a' cleachdadh dòighean matamataigeach, ach faodaidh tu anailitigeach. A dh 'aindeoin gu bheil duilgheadasan sònraichte ann nuair a bhios iad gan cleachdadh ann an cleachdadh, tha a' mhòr-chuid de na h-integraitean air an lorg mu thràth agus air an cur a-steach anns na leabhraichean iomraidh matamataigeach. Le bhith a 'cleachdadh dhòighean àireamhach, tha e comasach cunntasan a mheasadh, a tha am foirm stèidhichte air dàta deuchainneach no gnìomhan a tha aig na h-aonaidhean aca anns na clàran agus gu bheil e doirbh a bhith an làthair ann an cruth anailis.

Mus do thòisich àireamhachadh teicneòlas coimpiutaireachd de leithid de chruth-atharrachaidhean glè dhuilich, dh 'fheumadh iad a bhith a' coileanadh làmh-sgrìobhaidh àireamh mhòr de dh'obraichean àireamhachd, a bha an crochadh air an àireamh phuingean a tha a 'mìneachadh obair na tonn. Gus a 'bhaile an-diugh, tha prògraman sònraichte, ceadaichte a chur an gnìomh ùr sgrùdail dhòighean-obrach. Mar sin, ann an 1965 chruthaich Seumas Cooley agus John Tewki bathar-bog a chaidh ainmeachadh mar "cruth-atharrachadh luath Fourier". Tha e a 'ceadachadh ùine a shàbhaladh às a bhith a' dèanamh àireamhachadh air sgàth lùghdachadh de àireamh de iomadachaidhean aig anailis air lùb. Tha an dòigh "cruth luath Fourier" stèidhichte air a bhith a 'roinn an lùb gu àireamh mhòr de luachan sampla èideadh. Mar sin, tha an àireamh de iomadachaidhean air a lethachadh leis an aon ìsleachadh anns an àireamh phuingean.

A 'cleachdadh cruth-atharrachadh Fourier

Tha am pròiseas seo a chleachdadh ann an diofar raointean: Ann an àireamh teòiridh, fiosaig, comharraich giollachd, combinatorics, coltachd teòiridh, cryptography, staitistig, oceanography, optics, sgoinneil, agus geometries eile. Tha na cothroman as beairtiche a tha iad a 'cleachdadh stèidhichte air grunn fheartan feumail, ris an canar "togalaichean atharrachaidh Fourier." Beachdaich orra.

1. Tha cruth-atharrachaidh dreuchd na ghnìomhaiche loidhneach agus le gnàthachadh co-fhreagarrach aonadach. Canar teòirim Parseval ris an àite seo, no anns a 'chùis coitcheann, teòirim Plancherel, no dà-phoileas Pontryagin.

2. Tha an cruth-atharrachadh air a thilleadh. Agus tha an toradh air a 'chùl cha mhòr an aon fhoirm, a bharrachd air fuasgladh dìreach.

3. Is e freagairtean bunaiteach sìtheil-ghnàthach a th 'ann am fèin-fheum. Tha seo a 'ciallachadh gu bheil a leithid de riochdachadh atharrachadh sreathach air co-aontaran le sìor-èifeachdan ann an ailseabra gnàthach.

4. A rèir an teòirim "convolution", bidh am pròiseas seo a 'cruth-atharrachadh obrachadh ioma-fhillte mar iomadachadh bunasach.

5. Faodar an cruth-atharrachadh Fourier àraid a thomhas gu luath air coimpiutair leis an dòigh "luath".

Mìrean den Fourier Transform

1. Gu math tric tha am facal seo air a chleachdadh airson atharrachadh leantainneach a thoirt seachad a tha a 'toirt seachad abairt sam bith cuibhreachail so-ruigsinneach mar shuim de riochdachaidhean neo-fhillte le iomadachd sònraichte agus farsaingeachd àrainn. Tha diofar chruthan anns a 'ghnè seo, a dh'fhaodadh a bhith eadar-dhealaichte ann an co-èifeachdan cunbhalach. Tha dòigh leantainneach a 'toirt a-steach clàr atharrachaidh, a gheibhear ann an leabhraichean iomraidh matamataigeach. Is e cùis coitcheann a th 'ann an cruth-atharrachadh bloighteach, leis an urrainnear am pròiseas a chaidh a thoirt seachad a thogail don fhìor chumhachd riatanach.

2. Tha an dòigh leantainneach a tha generalization na bu tràithe modh de Fourier t-sreath a mhìneachadh airson sam bith àm gu àm gnìomhan no abairtean, a bhith beò ann cuingealaichte sgìre agus gan riochdachadh mar shreath de sinusoids.

3. Atharraichidh Fourier air leth. Tha an dòigh seo air a chleachdadh ann an teicneòlas coimpiutaireachd airson àireamhachadh saidheansail agus airson pròiseas comharradh didseatach. Gus an seòrsa àireamhachaidh seo a choileanadh, feumar gnìomhan a bhith a 'dearbhadh air puingean fa leth fa leth, àrainnean cunbhalach no le crìochan an àite ceàrnaidhean leantainneach Fourier. Tha an tionndadh comharra sa chùis seo air a riochdachadh mar shuim nan sinusoids. Anns a 'chùis seo, tha cleachdadh an dòigh "luath" a' toirt cothrom dhuinn fuasglaidhean fa leth a chur a-steach airson gnìomhan prataigeach sam bith.

4. Is e cruth coitcheann den dòigh clasaigeach a th 'ann an cruth-atharrachadh Fourier uinneag. Eu-coltach ris an fhuasgladh àbhaisteach, nuair a thathar a 'cleachdadh an speictream comharraidh, a tha air a thoirt a-steach ann an raon iomlan bith-beò de chaochlaideach, chan eil an sgaoileadh tricead ionadail gu sònraichte inntinneach ach ma thèid an caochladh (àm) a ghleidheadh.

5. Cruth-atharrachadh ceithir-thomhas Fourier. Tha an dòigh seo air a chleachdadh gus obrachadh le seataichean dà-thomhas. Anns a 'chùis seo, an toiseach, bidh an cruth-atharrachadh air a dhèanamh ann an aon taobh, agus an uairsin anns an fhear eile.

Co-dhùnadh

An-diugh tha modh Fourier air a stèidheachadh gu daingeann ann an diofar raointean saidheans. Mar eisimpleir, ann an 1962, chaidh cruth dlièit DNA dùbailte a lorg le bhith a 'cleachdadh anailis Fourier còmhla ri diffraction X-ray. Bha an fheadhainn mu dheireadh a 'cuimseachadh air criostalan de fibrean DNA, mar thoradh air an sin chaidh an ìomhaigh a fhuaras nuair a chaidh an rèididheachd a dhì-sgaoileadh a shuidheachadh air an fhilm. Thug an dealbh seo seachad fiosrachadh mu luach an leudachaidh nuair a bha iad a 'cleachdadh cruth Fourier ris an structar criostail a chaidh a thoirt seachad. Fhuaradh dàta mun ìre le bhith a 'dèanamh coimeas eadar mapa eadar-tharraingeach de DNA leis na mapaichean a chaidh fhaighinn nuair a bha iad a' sgrùdadh structaran ceimigeach coltach riutha. Mar thoradh air sin, tha bith-eòlaichean air structar criostail ath-nuadhachadh - an obair thùsail.

Tha pàirt mhòr aig transformation Fourier ann an sgrùdadh farsaingeachd a-muigh, fiosaig stuthan semiconductor agus plasma, acoustics microwave, oceanography, radar, seismology agus sgrùdaidhean meidigeach.