Dè tha ann an deagh integer? Eachdraidh, farsaingeachd, feartan

Math sgaradh bho fheallsanachd choitcheann mu dheidhinn an t-siathamh linn BC. d., agus bhon àm sin thòisich e crioch a march air feadh an t-saoghail. Tha gach ìre leasachaidh thug rudeigin ùr - bhunaiteach cunntas atharrachadh, atharrachadh a-steach don eadar-dhealachadh agus riatanach calculus, seach linn, foirmle a dh'fhàs troimh-chèile, agus thig àm nuair a tha "an toiseach as duilghe math - tha e air a dhol à bith uile air an àireamh." Ach ciod air cul?

Tha an toiseach tòiseachaidh

Tha àireamhan nàdarra a bha co-ionann ris a 'chiad obrachaidhean matamataigeach. Aon uair 's air ais, a dhà air ais, ... trì droma nochd iad taing do na Indian-saidheans a' chiad thug an positional àireamh an t-siostam. Tha am facal "positional" a 'ciallachadh gu bheil an suidheachadh gach fhigearach a lorg ann an grunn teann air a mhìneachadh agus co-ionann ris a roinn. Mar eisimpleir, na h-àireamhan 784 agus 487 - na h-àireamhan a tha an aon rud, ach tha na h-àireamhan nach eil an aon rud a bh 'gabhail a-steach 7 ceudan, ach an dàrna --mhàin 4. Innovation Innseanaich a thog na h-Arabaich, a thug suas air an àireamh de ghnèithean a tha fios againn a-nis.

Anns na seann làithean, na h-àireamhan ceangailte fhàidheanta cudromach, a bu mhotha a-matamataig Pythagoras 'creidsinn gu bheil an àireamh a tha aig cridhe a' cruthachadh co-ionann ris na h-eileamaidean bunaiteach - teine, uisge, talamh, air. Ma tha sinn a 'beachdachadh air a h-uile ach a mhàin le matamataigeach taobh, an uair sin tha e misneachail integer? Tha an achadh-àireamhan nàdarra a tha a sgrìobhadh mar N agus tha e neo-chrìochnach sreath de àireamhan a tha deimhinneach agus integers 1, 2, 3, ... + ∞. Zero tha dùnadh a-mach. Mhòr-chuid a 'cleachdadh airson cunntadh na nithean is sònraichibh an òrdugh.

Dè th 'ann nàdarra uile ann am matamataig? axioms de Peano

Achaidh N tha bonn air a tha na laighe bhunaiteach matamataig. Thar ùine, iomallach achadh integers, reusanta àireamhan, àireamhan fillte.

Tha obair na h-Eadailt matamataig Dzhuzeppe Peano dhèanamh comasach an tuilleadh structaradh àireamhachd, a rinn i na foirmealachdan agus an ullachadh na talmhainn airson barrachd co-dhùnaidhean a 'dol thairis air an achadh sgìre N. Dè th 'ann an àireamh nàdarra, tha e air a bhith a' lorg roimhe ann an cànan sìmplidh, tha na leanas Thèid beachdachadh air bunait matamataigeach definition an Peano axioms.

• Aonad air a meas mar àireamh nàdarra.
• Tha an àireamh a tha a 'leantainn an àireamh nàdarra, tha e nàdarra.
• Mus an t-aonad eil àireamh nàdarra.
• Ma tha an àireamh a b feumaidh iad a bhith an dà chuid an àireamh c, agus an àireamh de d, an sin c = d.
• Tha axiom inntrigidh, a tha air am moladh gu bheil nàdarra uile, ma aithris gu bheil an crochadh air paramadair seo fìor airson an àireamh 1, an uair sin tha sinn den bheachd gu bheil e ag obair do 'n àireamh de raointean-àireamhan nàdarra N. sin an tagradh seo fìor do' n = 1 bhon raon-àireamhan nàdarra N.

Basic obraichean airson an achadh le àireamhan nàdarra

Bho 'mhachair N deach a' chiad matamataigeach àireamhachadh, tha e gu bhith air a làimhseachadh mar àrainn de definition, agus an raon gu h-ìosal an àireamh de Gnìomhan luachan. Tha iad dùinte agus chan eil. Tha am prìomh eadar-dhealachadh a tha an obair a tha an urras fhàgail dùinte thoradh air taobh a-staigh seata N, a dh'aindeoin dè na h-àireamhan a tha an sàs. Tha e gu leòr gu bheil iad nàdarra. Tha a 'bhuil a tha air fhàgail eadar-obrachadh àireamhach nach eil cho sìmplidh agus an crochadh air gu bheil do dhaoine an sàs ann an labhairt, mar a dh'fhaodadh gum biodh e an aghaidh a' bunaiteach definition. Mar sin, dhùin obraichean:

• Addition - x + y = z, far a bheil x, y, z tha N bho chluain;
• iomadachadh - * x y = z, far a bheil x, y, z tha N bho chluain;
• exponentiation - x ^y, far a bheil x, y 'S ann bho N. Field

Tha fhàgail obair, thoradh nach urrainn ann an co-dhùnadh an co-theacsa "a tha àireamh nàdarra" mar a leanas:

• Toirt air falbh - x - y = z. Achaidh-àireamhan nàdarra a tha e a 'leigeil a-mhàin ma tha na b' fhaide x y;
• sgaradh - x / y = z. Achaidh-àireamhan nàdarra a tha e a 'leigeil a-mhàin ma tha z roinn le y eil chopan, i.e. cunbhalach.

Feartan àireamhan, a bhuineas do achadh N

All tuilleadh reusanachaidh matamataigeach bidh iad stèidhichte air na lotaichean sin, as Glè bheag, ach chan eil cho cudromach.

• Commutative seilbh thuilleadh - x + y = y + x, far a bheil an àireamh de x, y gabhail a-steach anns a 'bhogsa N. No an ainmeil "bhon ath-shuidheachadh an t-suim nach eil atharrachadh."
• Commutative seilbh de iomadachadh - * x y = y * x, far a bheil na h-àireamhan x, y 'S ann bho N. Field
• Ceangailteach seilbh thuilleadh - (x + y) + z = x + (y + z), far a bheil x, y, z tha bho N. Field
• Ceangailteach seilbh de iomadachadh - (x * y) * z = x * (y * z), far a bheil na h-àireamhan x, y, z tha bho N. Field
• sgaoilidh seilbh - x (y + z) * x = y + x * z, far a bheil na h-àireamhan x, y, z tha bho N. Field

Clàr de Pythagoras

Aon de na chiad cheum ann an eòlas na h-oileanaich air feadh na bun-structaran matamataig dèidh iad a 'tuigsinn dè a tha àireamhan ris an canar nàdarra, tha clàr nan Pythagoras. Faodaidh e bhith beachdachadh chan ann a mhàin bho shealladh an saidheans, ach cuideachd mar luachmhor saidheansail carragh-cuimhne.

Tha seo a 'iomadachadh clàr air a dhol fo grunn atharrachaidhean thar ùine: bha e air a thoirt air falbh à neoni, agus na h-àireamhan bho 1 gu 10 seasamh airson fhèin, ach a-mhàin òrdugh meudachd (ceudan, mìltean ...). 'S e clàr ann a tha a' nochdadh tiotalan de shreath agus colbhan - an àireamh agus na th 'ann de na ceallan far a tha co-ionann ris a' bhathar aca fhèin.

Ann an cleachdadh a 'trèanadh na deicheadan mu dheireadh a bha an fheum airson ionnsachadh a' Pythagorean table "ann an òrdugh", is e sin, a chaidh air memorization. Multiplication 1 a fàgail a-mach, bho thoradh a tha co-ionnan ri 1 no barrachd bhàillidh. Aig an aon àm, anns a 'chlàr chithear leis an lomnochd pàtran sùla: Bathar na h-àireamhan a' meudachadh le aon cheum, a tha co-ionann tiotal sreang. Mar so, an dàrna bàillidh a 'sealltainn dhuinn cia mheud uair a dh'fheumas tu a ghabhail an toiseach, ann an òrdugh fhaighinn miannaichte bathar. Tha an siostam seo a tha eu-coltach ris an aon nas goireasaiche a chaidh ullachadh anns na Meadhan Aoisean: fiù 's fios a tha deimhinneach integer, agus mar a tha e glè bheag, daoine a stiùireadh duilghe fhèin làitheil le bhith a' cleachdadh an t-siostam a bha stèidhichte air na ceuman de dhà.

Tha fo-sheata mar a 'chreathail matamataig

Aig an àm seo, tha an raon-àireamhan nàdarra N thathar a 'beachdachadh a-mhàin mar aon de na fo-sheataichean den àireamhan fillte, ach chan eil e gan dèanamh nas lugha luachmhor ann an saidheans. Nàdair uile - a 'chiad rud a pàiste ag ionnsachadh le bhith a' dèanamh oirnn fhìn agus air an t-saoghal mun cuairt oirnn. Aon uair 'mheur, dà mheur ... Taing dha, fear a chaidh a chruthachadh le bhith a' smaoineachadh loidsigeach, a thuilleadh air an comas gus dearbhadh an adhbhar agus mar thoradh air toradh, cabhsairean an t-slighe airson a 'mhòr lorg.