Tha an t-suim de na ceàrnan de triantan. Tha Theorem air an t-suim air ceàrnan de triantan

Tha an triantan S e Polygon bhith trì taobhan (trì ceàrnan). As tric, a 'phàirt a sgrìobhadh le litrichean beaga co-fhreagarrach na litrichean, a tha a' riochdachadh mu choinneamh vertices. Anns an aiste seo bheir sinn sùil air na seòrsachan geoimeatrach chumaidhean, Theorem, a tha a 'mìneachadh dè a tha co-ionann ris an t-suim air ceàrnan de triantan.

Seòrsachan ceàrnan as motha

Tha na leanas sheòrsaichean Polygon le trì vertices:

• acute-cheàrnach, anns a bheil a h-uile ceàrnan a tha geur;
• ceithir-cheàrnach a bheil aon cheàrn cheart, an taobh a 'cruthachadh, a chur gu a chasan, agus an taobh a tha mu choinneamh a chaidh a shocrachadh gu ceart-cheàrn ris an t-hypotenuse;
• farsaing nuair aon ceàrn farsaing ;
• co-chasach, aig an dà thaobh co-ionnan, agus tha iad an t-ainm tarsainn, agus an treas - triantan le bonn;
• equilateral a trì taobhan co-ionnan.

seilbhean

A riarachadh na feartan bunaiteach a tha feart de gach seòrsa cheàrnach:

• mu choinneamh an taobh as motha a tha daonnan barrachd ceàrn, agus a chaochladh;
• tha co-ionann ceàrnan mu choinneamh co-ionnan-pàrtaidh as motha, agus a chaochladh;
• sam bith ann an triantan Tha dà acute ceàrnan;
• ceàrn a-muigh nas motha na sam bith taobh a-staigh ceàrn nach eil ri taobh leithid sin de chùis;
• suim sam bith dà ceàrnan a tha an-còmhnaidh nas lugha na 180 ceuman;
• ceàrn co-ionann ri taobh a-muigh an t-suim de na dhà eile oiseanan, a tha cha mezhuyut ris.

Tha Theorem air an t-suim air ceàrnan de triantan

Tha Theorem ag ràdh gu bheil ma tha thu 'cuir suas na h-uile ceàrnaidh den t-geoimeatrach a cumadh, a tha suidhichte ann an Euclidean plèana, an uair sin an t-suim aca a bhios 180 ceum. Nach 'feuchainn ri seo a dhearbhadh Theorem.

Leig tha sinn a 'tràighte triantan le vertices KMN. Thar mullach M Cumaidh dìreach co-shìnte ris an loidhne KN (eadhon an loidhne seo a tha an t-ainm Euclid). Bu chòir a thoirt fa-near puing A gum bi na puingean A K agus air an cur bho dhiofar taobh na loidhne MN. Sinn a 'faighinn an aon ceàrn de AMS agus MUF, a tha, mar an taobh a-staigh, a' laighe tarsainn air a chèile a chruthachadh trasnaidh MN ann an co-bhonn le dìreach CN agus MA, a tha co-shìnte. Bho seo tha ea 'leantainn gu bheil an t-suim de na ceàrnan an triantan, suidhichte aig a' vertices de M N agus tha e co-ionnan ri meud na ceàrn CMA. A h-uile trì ceàrnan mairidh an t-suim co-ionann ris an t-suim air ceàrnan de KMA agus MCS. Bhon a chaidh an dàta a tha taobh a-staigh ceàrnan buntainneach taobhach loidhnichean co-shìnte CL agus CM MA aig trasnaidh, an t-suim a tha 180 ceum. Seo a 'dearbhadh an Theorem.

thoradh air

De na h-àrd os cionn a 'ciallachadh Theorem corollary a leanas: a h-uile triantan Tha dà acute ceàrnan. Gus seo a dhearbhadh, leig dhuinn smaoineachadh gu bheil seo geoimeatrach figear tha aon acute angle. Faodaidh sibh cuideachd smaoineachadh gu bheil gin de na h-oiseanan eil biorach. Anns a 'chùis seo feumaidh e bhith co-dhiù dà ceàrnan meud a tha co-ionann ri no nas motha na 90 ceuman. Ach an uair sin an t-suim de na ceàrnan nas motha na 180 °. Ach an seo, chan urrainn a bhith, mar a rèir an t-suim Theorem ceàrnan de triantan co-ionann ri 180 ° - gun tuilleadh, Cha lugha. Sin na rudan a bha gu bhith air a dhearbhadh.

Seilbh oiseanan a-muigh

Dè an t-suim de na ceàrnan de triantan, a tha taobh a-muigh? Tha an fhreagairt air a 'cheist seo a gheibhear le bhith a' cleachdadh aon de dhà dhòigh. Tha a 'chiad gum feum thu a' lorg an t-suim de na ceàrnan, a tha air a thoirt aig gach aon Vertex, is e sin, trì ceàrnan. Tha an dàrna a 'ciallachadh gum feum thu a' lorg an t-suim de na sia ceàrnan aig vertices. Gus dèiligeadh ris an toiseach a 'chiad embodiment. Mar sin, an triantan Tha sia-oiseanan a-muigh - aig mullach gach aon de na dhà. Tha gach paidhir a tha co-ionann ceàrnan eadar iad fhèin, bhon a tha iad dìreach:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

A thuilleadh air sin, tha fios gu bheil na h-Eileanan oisean triantan co-ionann air an t-suim air an dà leth a-staigh, a tha cha mezhuyutsya ris. uime sin,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Bho seo tha e coltach gun robh an t-suim de na ceàrnan a-muigh, a tha air a ghabhail aon faisg gach Vertex a bhios co-ionann ris:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S x = 2 (∟A + ∟V ∟S +).

Leis gu bheil an t-suim de na ceàrnan co-ionann ri 180 °, faodar a argamaid gum ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Tha seo a 'ciallachadh gu bheil ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ma tha an dàrna roghainn a thathar a 'cleachdadh, an t-suim de na sia ceàrnan a bhios da rèir barrachd twice. 'Se sin an t-suim de na ceàrnan de triantan taobh a-muigh, bidh:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 x = 2 (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

ceart-cheàrnach

Dè a tha co-ionann ris an t-suim de na ceàrnan de ceart-cheàrnach, tha an t-eilean? 'S e am freagairt, a-rithist, bho Theorem, a tha ag ràdh gu bheil na ceàrnan de triantan Cuir suas gu 180 °. A fuaim againn ag ràdh (seilbh) mar a leanas: ann an triantan ceart-cheàrnach ris geur suas gu 90 ceum. Tha sinn a 'dearbhadh a fìrinneachd. Biodh a thoirt triantan KMN, a ∟N = 90 °. Tha e riatanach a dhearbhadh gun ∟K ∟M + = 90 °.

Mar sin, a rèir a 'Theorem air an t-suim de na ceàrnan ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Anns an staid seo thathar ag ràdh gun ∟N = 90 °. Tha e a 'tionndadh a-mach ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. 'S e sin ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. E sin a bu chòir dhuinn a dhearbhadh.

A bharrachd air na feartan gu h-àrd a triantan ceart, faodaidh sibh cuir iad sin:

• ceàrnan a tha an aghaidh an casan a tha geur;
• an hypotenuse na triantain nas motha na gin sam bith de na casan;
• an t-suim de na casan barrachd na hypotenuse;
• chas an triantan, a tha suidhichte mu choinneamh an ceàrn 30 Degrees, leth den hypotenuse, a tha co-ionnan ri a leth.

Mar sheilbh eile de na geoimeatrach cumadh Aithneachar Teòirim Pythagorean. Tha i ag argamaid gu bheil ann an triantan le ceàrn 90 ceumannan (ceithir-cheàrnach), an t-suim de na ceàrnagan de na co-ionann ri casan an ceàrnag hypotenuse.

Tha an t-suim de ceàrnan triantan co-chasach

Na bu thràithe sinn a ràdh gun robh an triantan co-chasach a tha Polygon le trì vertices, anns a bheil dithis co-ionnan taobh. Tha seo a 'seilbh e ainmeil geoimeatrach figear: na ceàrnan aig a stèidh cho-ionann. Leig dhuinn seo a dhearbhadh.

Gabh an triantan KMN, a tha co-chasach, SC - a 'bhonn. Tha sinn a dhìth a dhearbhadh gun ∟K = ∟N. Mar sin, leig dhuinn gabhail ris gum MA - KMN tha an bisector ar triantan. ICA le triantan a 'chiad chomharra air co-ionannachd a tha triantan Mnà. 'Se sin, le beachd-bharail a thoirt a CM = NM, MA tha cumanta taobh, ∟1 = ∟2, a chionn MA - bisector seo. Cleachdadh an co-ionannachd an dà thriantan, b 'urrainn argamaid a dhèanamh gun ∟K = ∟N. Uime sin, tha an Theorem dhearbhadh.

Ach tha sinn a bheil ùidh ann, dè an t-suim de na ceàrnan de triantan (co-chasach). Seach a thaobh seo chan eil na feartan, bidh sinn a 'tòiseachadh bhon Theorem deasbad roimhe. 'S e sin, faodaidh sinn a ràdh gu bheil ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, no 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (mar a ∟K = ∟N). Bidh seo a 'dearbhadh nach eil an t-seilbh, mar a Theorem air an t-suim de na ceàrnan de triantan chaidh a dhearbhadh na bu tràithe.

Ach a-mhàin na beachdachadh air feartan na h-oiseanan de triantan, tha cuideachd cudromach leithid aithrisean:

• ann an triantan equilateral àirde, a bha air a chur sìos gu bonn, aig an aon àm tha an àireamh-meadhain bisector an ceàrn a tha eadar na taobhan co-ionann agus an axis cothromachaidh a bunait;
• meadhanail (bisector, àirde), a tha air a chumail gus taobhan de geoimeatrach figear, a tha co-ionnan.

equilateral triantan

Tha e cuideachd mar ainm air an làimh dheis, tha an triantan, a tha co-ionann ri na pàrtaidhean uile. Agus uime sin cuideachd co-ionannachd agus ceàrnan. Gach fear dhiubh e 60 ceum. Leig dhuinn seo a dhearbhadh seilbh.

Leig dhuinn gabhail ris gu bheil sinn triantan KMN. Tha fios againn gum KM = HM = KH. Tha seo a 'ciallachadh gu bheil, a rèir an seilbh na ceàrnan suidhichte aig bonn ann an triantan equilateral ∟K = ∟M = ∟N. Bhon, a rèir an t-suim air ceàrnan de triantan Theorem ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, an sin x 3 = 180 ° ∟K no ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Mar sin, tha an tagradh a dhearbhadh. Mar a chithear bho na h-àrd stèidhichte air fianais gu h-àrd Theorem, an t-suim de na ceàrnan de equilateral triantan, mar an t-suim de na ceàrnan sam bith eile a tha triantan 180 ceum. Rithist a 'dearbhadh seo Theorem Chan eil e riatanach.

Tha fhathast cuid seilbhean feart an equilateral cheàrnach:

• mheadhanail bisector àirde ann an geoimeatrach figear co-ionann, agus am fad a thomhas mar (a √3 x): 2;
• ma tha seo Polygon circumscribing an cearcall, agus an uair sin a-mach radius a bhios co-ionann ris (a √3 x): 3;
• ma snaidhte ann an cearcall equilateral triantan, radius a bhiodh (a √3 x): 6;
• sgìre na geoimeatrach figear air a thomhas a rèir foirmle: (A2 √3 x): 4.

farsaing triantan

Le cinnt, an farsaing-cheàrnach triantan, aon de na h-oiseanan a tha eadar 90 gu 180 °. Ach a thoirt seachad gun robh an dithis eile de na ceàrnan geoimeatrach cumadh biorach, faodar co-dhùnadh nach eil iad nas àirde 90 ceum. Uime sin, an t-suim de na ceàrnan de triantan Theorem ag obair ann an obrachadh a-mach an t-suim de na ceàrnan ann an triantan farsaing. Mar sin, faodaidh sinn a ràdh gu sàbhailte, stèidhichte air na h-àrd Theorem gu bheil an t-suim de na ceàrnan farsaing de triantan tha 180 ceum. A-rithist, chan eil seo Theorem feum air ath-dhearbhadh.